ANALYSE NON STANDARD


ANALYSE NON STANDARD
ANALYSE NON STANDARD

Créée par Abraham Robinson vers 1961 à partir de la théorie des modèles, l’analyse non standard (A.N.S.) est longtemps restée une affaire de logicien. Depuis quelques années, son usage comme outil de recherche et de démonstration rend accessibles des problèmes difficiles et des phénomènes nouveaux; simultanément, elle permet la modélisation de faits expérimentaux à double aspect macroscopique et microscopique. Sa pratique est facilitée par les présentations axiomatiques récentes, telle la théorie des ensembles internes (internal set theory , I.S.T.) due à Edouard Nelson (1977), que nous allons illustrer en montrant, sur quelques exemples, la vitalité de cet enrichissement peu coûteux de l’art mathématique. Peut-être l’A.N.S. est-elle sinon une révolution dans la pensée scientifique, du moins un acquis étonnant de la profonde mise au point que connaît la logique mathématique depuis le début du siècle.

1. Les insuffisances de la mathématique classique

Presque toutes les sciences, de la physique à la paléontologie, en passant par l’économie, l’astronomie, la linguistique, la biologie et simplement la vie quotidienne, sont dominées par le fait que des phénomènes perceptibles et hiérarchisables résultent de l’accumulation de microphénomènes imperceptibles. Ainsi distingue-t-on la graine de l’arbre, l’homme du singe, l’image du film, la banlieue terrestre de la Voie lactée, le langage enfantin de celui de l’Académie, l’atome de l’objet matériel...

Pourtant, l’analyse classique ne propose pas de concepts qui modélisent efficacement de telles hiérarchies à frontière floue (le fameux «chaînon manquant»). Par ailleurs, rares sont les constructions de topologie, de géométrie différentielle, de théorie probabiliste ou d’analyse qui ressemblent à l’idée heuristique originelle; la notion de limite est un détour qui, faute de concepts intermédiaires, encombre la moindre discrétisation de nombreuses majorations explicites. Ainsi, les théories de perturbation nécessitent de laborieux calculs, en particulier lorsqu’il s’agit de recoller des comportements asymptotiques adjacents.

2. De Leibniz à l’A.N.S.

La théorie des infinitésimaux de Leibniz fut, en son temps, une réponse féconde mais, telle quelle, sans fondement logique correct. Il s’en fallait de peu. En effet, Leibniz dirait: «Le réel 諸 est infiniment grand s’il est supérieur à tout entier»; comme R est archimédien, un tel 諸 n’existe pas. Disons: «Le réel 諸 est infiniment grand s’il est supérieur à tout entier particulier ». Ici particulier est une notion floue qui englobe tous les entiers susceptibles d’être effectivement utilisés par une machine. Bien que la phrase «il existe 諸 tel que...» ne soit pas formalisable, nous pouvons utiliser 諸 dans une démonstration: il suffit de le remplacer par un réel supérieur à tous les entiers particuliers qui y apparaissent, et l’on obtient une démonstration classique. En d’autres termes, si on adjoint au langage de ZF (la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel) une constante 諸 et le schéma d’axiome 諸 礪 i , où i = 0, 1, ..., on obtient une extension conservative ZFL de ZF dans laquelle le calcul de Leibniz est justifié. Nous avons pour cela utilisé une propriété rudimentaire de l’infini mathématique. La propriété forte qu’est l’axiome du choix justifie la puissante extension conservative I.S.T. de Nelson dont les axiomes concentrent les propriétés que Robinson a observées sur ses agrandissements. Par exemple, on sait que la théorie des réels limitée aux propriétés du premier ordre (c’est-à-dire où les quantifications ne portent que sur les variables d’élément) admet, outre le modèle standard R, un modèle R contenant un exemplaire de R mais non isomorphe à R. La théorie des réels s’enrichit alors d’une distinction externe entre éléments standard (ceux de R) et non standard (ceux de R-R) qui ont les mêmes propriétés internes aux modèles; remplaçant ci-dessus «particulier» par «standard», on obtient un calcul infinitésimal efficace.

3. La théorie I.S.T., une présentation axiomatique de l’A.N.S.

(I) On adjoint au langage de ZF le symbole de prédicat monadique st (lire «standard»); les nouvelles formules sont dites externes , celles de ZF internes . Les axiomes non logiques d’I.S.T. sont, outre ceux de ZF restreints aux formules internes , les trois principes suivants (face=F0019 葉st x abrège 葉 x (st x...):

(T, transfert ): Soit A(x , t 1, ..., t k ) une formule interne sans autres variables libres que x et les t i ; alors:

(I, idéalisation ): Soit B(u , v , t 1, ..., t k ) une formule interne , de variables libres u , v , t 1, ..., t k ; alors:

(S, standardisation ): Soit C(z , t 1, ..., t k ) une formule externe , de variables libres z , t 1, ..., t k ; alors:

Ainsi, un ensemble défini de manière unique par une propriété interne A(x ) est standard, car 說! x A(x ) 兩 說 ! st x A(x ); les objets classiques 0, 1, 2, ..., 神, e , 﨏, N, Q, R, C, R125, S3, ... sont donc standard, ainsi que tous les objets construits à partir d’eux par une procédure interne.

La standardisation fournit à partir de C, t i , x , un ensemble standard y dont les éléments standard sont ceux de x vérifiant C; il faut noter que l’axiome d’extensionnalité de ZF ne s’applique pas au couple (x , C). L’idéalisation fournit des objets «idéaux» par rapport à la mathématique classique. Ainsi, soit 福 une relation binaire standard sur un ensemble standard E telle que, pour toute partie standard finie F 說 E, il existe v 捻 E relié à tous les u 捻 F (relation idéalisable ); alors il existe un élément 諸 捻 E relié à tous les éléments standard de E.
(II) Pour prouver que I.S.T. est une extension conservative de ZF, on utilise des ultrafiltres convenables qui existent grâce à l’axiome du choix. Cela signifie que les propriétés internes démontrées dans I.S.T. ont aussi une démonstration dans ZF, souvent plus longue et moins naturelle; les objets idéaux engendrent des concepts intermédiaires qui corrigent les insuffisances citées plus haut.
(III) Soit E(t 1, ..., t k ) une formule externe. Un algorithme purement syntaxique (commutation de quantificateurs) la transforme en une formule interne E (t 1, ..., t k ) telle que 葉stt 1, ..., 葉stt k (E(t 1, ..., t k ) 兩 E (t 1, ..., t k )); ainsi, pour les valeurs standard des variables libres, la propriété décrite par E équivaut à une propriété classique (éventuellement très compliquée).
(IV) En appliquant (I) à (u 捻 V) 廬 (V fini), on obtient un ensemble fini F qui contient tous les objets standard. Commex 捻 F, st x n’est pas défini, cela ne veut pas dire que les objets standard sont en nombre fini!
(V) Soit P(n ) une formule externe telle que P(0) et 葉stnN (P(n )P(n + 1)) soient des théorèmes. Alors, par l’axiome (S) de standardisation, il existe un ensemble standard E 說 N dont les éléments standard satisfont P. Par l’axiome (T) de transfert, le théorème de récurrence implique E = N, de sorte que P est vraie pour tout entier standard. Ce résultat est le principe de récurrence externe. (VI) Soit A(x , y ) une formule externe et X, Y deux ensembles standard tels que 葉stx 捻 X, 說sty 捻 Y, A(x , y ). Alors, par (S) et l’axiome du choix, on obtient une application standard f : XY telle que 葉stx 捻 X, A(x , f (x )). Ce principe de construction fournit des f dont les propriétés internes peuvent être démontrées sur les x standard, et ainsi refléter quelque propriété externe liée à A.

(VII) Soit V un ensemble standard, E(x ) et P(x ) des formules externes , A(x ) une formule interne vérifiant les hypothèses suivantes:

Alorsx 捻 V, A(x ) contient tous les x 捻 V satisfaisant E, donc aussi, par (d ) et (c ), des éléments satisfaisant 囹E(x ) 廬 P(x ). Par exemple, si on applique cela aux formules «st n », «u p infiniment petit pour tout pn », «|u n | 麗 (1/n ) pour V = N», on trouve que la suite réelle u est à valeurs infiniment petites jusqu’à un indice infiniment grand (cf. infra , Quelques concepts nouveaux en analyse et en topologie ), pourvu qu’elle le soit pour les indices standard (en effet, face=F0019xN, st n n’existe pas, faute de plus grand élément). Un tel principe de permanence possède des analogues dans les sciences citées dans le chapitre Les insuffisances de la mathématique classique ; il modélise la transition entre hiérarchies «floues» et joue un rôle essentiel dans les applications profondes de l’A.N.S.

(VIII) On peut compléter facilement I.S.T. en y admettant des «ensembles externes» de façon que l’axiome d’extensionnalité s’applique aux formules externes. Cela permet des économies de langage mais nécessite quelques précautions: toutes les opérations de ZF ne s’appliquant pas aux ensembles externes (cf. supra , La théorie I.S.T. , une présentation axiomatique de l’A.N.S. et, infra , Perturbations d’objets algébriques ). Dans la pratique, les ensembles externes qu’il est agréable d’introduire – tels les halos en topologie – sont de simples abréviations pour quelques propriétés externes courantes.

4. Quelques concepts nouveaux en analyse et en topologie

(I) L’ordre sur R est idéalisable, ce qui fournit des i. g. (infiniment grands) (face=F0019 葉sty , y 麗 |x |), des i. p. (infiniment petits) (0 et 1/x , où x est i. g.), des réels limités (face=F0019 說sty , |x | 麗 y ); comme R est complet, il existe un unique réel standard o face=F9796 l, ombre de face=F9796 l, tel que face=F9796 l 黎 face=F9796 lo, c’est-à-dire face=F9796 l 漣 o face=F9796 l i. p. De même l’ombre oA de A 說 R est l’unique ensemble standard dont les éléments standard sont les ombres des éléments limités de A. Toute fonction f : RR à valeurs limitées sur les réels standard admet une ombre of telle que, pour tout x standard, (of ) (x ) = o(f (x )). Les points de même ombre a constituent un ensemble externe h (a ), le halo de a ; de même, le halo h (A) d’une partie standard A est défini par xh (A) 兩 ox 捻 A. Les opérations du premier ordre (face=F0019 聆, 惡, 璉) s’appliquent à ces halos.

(II) Soit (X, face=F0021 六) un espace topologique où 六 est la famille des ouverts, a 捻 X, A 說 X avec X, 六, a , A standard. Le halo h (a ) est l’ensemble externe défini par «xh (a ) si et seulement si tout voisinage standard de a contient x »; h (A) est la réunion des h (a ), a 捻 A, a standard. Un xh (X) est dit accessible . La notion de halo est un intermédiaire efficace car h (a ) contient un micro-ouvert obtenu par idéalisation de la propriété (U 捻 六) 廬 (V 捻 六) 廬 (a 捻 U 惡 V) 廬 (V 說 U). Ainsi, (X, face=F0021 六) est séparé si les halos de deux points standard sont disjoints; un xh (x ) a alors une ombre unique ox telle que xh (ox ); on définit comme en (I) les ombres des parties et des applications prenant des valeurs accessibles sur les standard.
(III) Pour la topologie associée à une distance standard d sur X, h (a ) est caractérisé par d (x , a ) 黎 0. Un x 捻 X est uniformément inaccessible s’il vérifie:

On dénombre les équivalents suivants d’énoncés transférés, c’est-à-dire où (u n ), face=F9796 l, f , x 0, a , b , A, X, 六, X , 六 , d , d , (f n ) sont standard (cf. tableau ci-dessous).

5. Quelques exemples de démonstrations dans I.S.T.

Pour démontrer un théorème interne, on utilise les équivalents du chapitre Quelques concepts nouveaux en analyse et en topologie après transfert de l’énoncé (ci-dessous).

Exemple 1. Toute application (st) continue d’un espace métrique (st) compact dans un espace métrique (st) est uniformément continue.

Par compacité, x , y 捻 X ont des ombres, égales si xy . Par continuité, f (x ) 黎 f (ox ) = f (oy ) 黎 f (y ), ce qui entraîne f (x ) 黎 f (y ).

Exemple 2. Dans un espace compact (st), toute partie infinie (st) admet un point d’accumulation (st).

Soit 見 捻 A, non st. Son ombre a vérifie 見 a et 見 捻 h (a ) 惡 A.

Exemple 3. Réciproque, dans le cas métrique.

Soit 見 捻 X 漣 h (X). Si 見 est uniformément inaccessible, l’axiome (I) d’idéalisation implique « 葉st fini F, 說sty 捻 X, 葉x 捻 F, d (y , x ) 礪 﨎». Il existe donc (principe de construction) une application st f : face=F0021 戮 (X)X telle que pour toute F st finie et x 捻 F, d (x , f (F)) 礪 﨎. Par induction, on obtient une suite st telle que u i+1 = f (face=F0019u j , ji); ainsi d (u i , u j ) 礪 﨎 pour i j etu i , iN est infini sans point d’accumulation.

Si 見 n’est pas uniformément inaccessible, il existe (construction) une suite st telle que d ( 見, u n ) 麗 (1/n ) pour tout n st; elle admet une valeur d’adhérence st a et comme 見 殮 h (a ), il existe p st tel que d ( 見, a ) 礪 (1/p ) et q 礪 2p tel que d (u q , a ) 麗 1/(2p ), ce qui mène à la contradiction:

Ainsi X = h (X), c’est-à-dire X est compact.

Exemple 4. Soit g : RR une fonction (st) à dérivée |g | 麗 M (st), telle que:

converge; alors g (x )0 lorsque x梁 秊.

Supposons g (x 0) non i. p. pour un x 0 i.g. Alors (formule des accroissements finis), il existe un intervalle st [x 0 漣 見, x 0 + 見] sur lequel g (x 0) est non i.p. de sorte que:

est non i. p., ce qui contredit la convergence.

Exemple 5. Soit X un champ de vecteurs sur Rp , borné par M et aRp (X, p , a , M standard); alors il existe une courbe intégrale (st) issue de a .

1re méthode (retard). Soit 精 黎 0. Le système:

admet une unique solution (récurrence), vérifiant 瑩 見 (t + h ) 漣 見(t ) 瑩 麗 h M. Alors 瑩 見(t ) 瑩 諒 瑩a 瑩 + t M est limité pour t st; ainsi 塚 = o 見 existe et vérifie:

Elle est donc continue; la continuité de X et de l’intégrale impliquent:

de sorte que (unicité de l’ombre), pour t st,

par transfert, 塚 est une courbe intégrale.

2e méthode (Peano). On définit par récurrence x n+1 = x n = 精X(x n ), x 0 = a et 見(t ) = x n pour n 精 諒 t 麗 (n + 1) 精. Des inégalités 瑩x n + mx n 瑩 麗 Mm 精 et 瑩x ma 瑩 麗 Mm 精 on déduit que 見 a une ombre continue 塚; pour t st, on a:

d’où égalité des extrêmes (qui sont st).

Ces exemples suggèrent une présentation nouvelle des éléments d’analyse et de topologie. Mais l’A.N.S. permet aussi des approches efficaces au niveau de la recherche; en voici quelques exemples tirés des travaux de R. Lutz et M. Goze cités en bibliographie. D’autres applications (probabilités, distributions) sont notées dans Li Bang He et dans E. Nelson.

6. Perturbations d’objets algébriques

(I) Soit P0Cn [X] un polynôme st de degré st n . Si P 捻 Cn [X] a ses coefficients infiniment proches de ceux de P0, les racines de P0 sont les ombres des racines de P, avec conservation des multiplicités.

On a P = k (X 漣 見1)...(X 漣 見n ) avec k limité non i.p. Soit u st, uo1, ..., 見n. Alors |P0(u )| 黎 |k | |u 漣 見1| ... |u 漣 見n | est st, ce qui suppose tous les |u 漣 見i |, et donc les 見i , limités; alors, pour tout z st,

de sorte que, par transfert, les oi sont exactement les n racines de P0.

(II) Soit 0 un opérateur linéaire st sur Cn (n st). Si la matrice de T est infiniment proche de celle de 0 dans une (quelconque) base st, la décomposition caractéristique de 0 est l’ombre de celle de T.

Ce fait résulte presque immédiatement de (I) appliqué aux valeurs propres et de la propriété suivante (qui équivaut à la compacité des espaces de p -plans). Si st n , l’ombre d’un sous-espace vectoriel V de Cn est un sous-espace vectoriel de même dimension.

En effet, pour le produit usuel, V admet une base orthonormale dont l’ombre est orthonormale, donc de même rang.

(III) Soit 猪0 une loi d’algèbre de Lie st sur Cn (n st). Soit 猪 une perturbation de 猪0, c’est-à-dire une autre loi de constantes structurelles infiniment proches de celles de 猪0 dans une (quelconque) base standard. Alors, l’ombre d’une sous-algèbre (resp. idéal) pour 猪 est une sous-algèbre (resp. idéal) pour 猪0 de même dimension. Il en résulte que:

– si 猪 est résoluble (resp. nilpotente), 猪0 l’est aussi;

– si 猪0 est une semi-simple (resp. simple), 猪 l’est aussi;

– la forme de Killing de 猪0 est l’ombre de celle de 猪.

Un calcul élémentaire montre que, si 猪0 est semi-simple, l’ombre d’une base de Weyl B pour 猪 existe et est une telle base pour 猪0. Les constantes de structure de B étant standard, elles sont égales à leurs ombres, de sorte qu’il existe un isomorphisme qui échange 猪 et 猪0. Par transfert, cela montre la rigidité des algèbres de Lie semi-simples.

7. Champs de vecteurs lents-rapides dans R2

(I) Le comportement asymptotique des solutions de:

lorsque 﨎0 se déduit, pour f et g st, de leur comportement quand 﨎 黎 0; les théorèmes généraux sur les champs de vecteurs (continuité, unicité) et le principe de permanence en donnent alors une description en termes d’ombres. Des phases rapides ( face="EU Updot" 來 i.g.) presque horizontales alternent avec des phases lentes (f (t , x , y ) 黎 0) et se raccordent par permanence (ces raccords constituent le problème majeur des techniques de développement). Ainsi pour:

f st croissante, la trajectoire issue d’un point limité (x 0, y 0) du demi-plan x 礪 0, situé à gauche du halo h ( 臨) du graphe de f , est presque horizontale et infiniment rapide jusqu’à (x 1, y 1) 捻 h ( 臨); puis elle longe 臨 après l’avoir traversé en (x 2, y 2); y 0y ly 2 (fig. 1).

Ce type d’argument permet une étude fine des oscillations de relaxation, par exemple celles de l’équation de Van der Pol 﨎x + (x 2 漣 1) face="EU Updot" 來 + x = a . Dans le plan de Lienard, elle s’écrit:

et l’on observe, pour a 麗 1, a 黎/ 1, un cycle limite unique dont les phases lentes ont leur ombre sur la cubique 臨; ce cycle a disparu pour a 礪 1 et, topologiquement, on a une bifurcation de Hopf [cf. SYSTÈMES DYNAMIQUES DIFFÉRENTIABLES]. L’étude fine de la transition pour a 黎 1 montre que, pour certaines valeurs de a du type:

apparaissent des cycles intermédiaires (fig. 3), appelés «canards» en raison de leur forme, qui longent à la fois des segments attractifs et répulsifs de 臨. Cet effet canard accompagne de nombreuses bifurcations; leur découverte est un sous-produit typique de l’A.N.S.: les méthodes classiques sont en effet impraticables dès qu’il y a deux paramètres.

(II) Des techniques analogues s’appliquent à des problèmes aux limites avec perturbation singulière du type (P size=1):

Le comportement asymptotique des solutions se lit sur les ombres des courbes intégrales pour f , A, B st et 﨎 黎 0 dans un espace de phase convenable. On détermine celles qui vont de A à B entre les temps 0 et 1. En général, elles admettent des couches limites (sauts infiniment brefs pour t 黎 0 ou t 黎 1) et des couches libres (transition infiniment brève entre deux phases lentes, fig. 4), dont la localisation est classiquement inabordable dès que P size=1 n’admet pas de solution unique, par exemple dans le célèbre problème 﨎x = f (t , x ). Ici, l’A.N.S. permet d’unifier une branche assez disparate des mathématiques appliquées et d’y redonner une place aux considérations géométriques, y compris dans la manière d’exprimer les résultats.

(III) L’A.N.S. permet une étude aisée des équations à solution rapidement oscillantes et de leurs «invariants adiabatiques».

Montrons par exemple que:

est un invariant adiabatique pour l’oscillateur linéaire 﨎2x + 諸2(t )x = 0, 諸(t ) 礪 0, st, 﨎 黎 0, c’est-à-dire que I(t ) 黎 I(t 0) pour tt 0 limité.

Dans les coordonnées:

on a:

À la solution de (1) issue de (t 0, r 0, 0) correspond la suite t n définie par (t n ) = 0 漣 2 神 n . Une brève étude au «microscope»:

montre que:

de sorte que r (t ) 黎 R(t ), pour tt 0 limité, où:

est la solution de

intégré par la méthode de Peano (points de partage t n ).

Comme 諸(t ) 黎 諸(0t ) 0, il en résulte que I(t ) 黎 I(t 0) pour tt 0 limité.

8. Modélisation de phénomènes à deux échelles

Les concepts de l’A.N.S. permettent de modéliser des phénomènes à double aspect macroscopique et microscopique.

Ainsi, dans une théorie rudimentaire du dessin animé, on considère une suite finie de courbes continues 塚i [0, 1][0, 1] 憐 [0, 1], 1 麗 i 麗 諸, 諸 i. g.

On définit 見: [0, 1] 憐 [0, 1][0, 1] 憐 [0, 1] par 見(s , t ) = 塚i (s ) si:

L’application st 塚 = 0 見 représente le mouvement observé lorsque les 諸 images défilent en le temps 1.

Soit:

on montre aisément que, si 諸﨎 est limité, 塚 est continue.

Un autre exemple célèbre est celui du moiré, effet macroscopique qui résulte de la superposition de deux réseaux optiques réguliers et très fins alternant des lignes opaques et des blancs. L’A.N.S. permet une théorie très simple qui justifie parfaitement les franges expérimentales (cf. J. Hartong, «Le Moiré», in Advances in Applied Math. ).

La physique abonde d’ailleurs en concepts sans support mathématique solide qui deviennent cohérents dans le cadre de l’A.N.S., tel celui de «paquet d’onde» fondamental en mécanique ondulatoire. La difficulté de décrire une particule située avec une probabilité proche de 1 dans une région de l’espace petite mais importante par rapport à la longueur d’onde tient au fait qu’une masse ponctuelle ne permet pas d’écrire la fonction d’onde associée, celle-ci oscillant un grand nombre de fois au point. Par contre, l’usage d’une fonction non standard remplaçant la distribution de Dirac lève la difficulté (cf. J. Hartong, La Propagation des ondes ).

Ainsi, l’A.N.S. a rapidement dépassé le stade d’une nouvelle spécialité des mathématiques pour stimuler de nombreuses questions de mathématique fondamentale ou appliquée. Des approches nouvelles dans les fondements de la physique en découleront sans doute; il est d’ailleurs naturel qu’un tel élargissement de l’univers mathématique enrichisse également les autres sciences.

Encyclopédie Universelle. 2012.

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